New PDF release: Integration und Maß

By Prof. Dr. Michael Leinert (auth.)

Dieses Buch soll in die Integrations- und Maßtheorie einführen. Wie ich hoffe, eignet es sich für Studenten zum Gebrauch neben der Vorlesung oder zum Eigenstudium, am besten mit Papier und Bleistift, aber auch für fortgeschrittenere Mathematiker zum Nachschlagen. Vorausgesetzt werden die mathematischen Grundvorlesungen. Gelegentlich benutzte topologische oder funktionalanalytische Tatsachen sind im Anhang zusammen­ gestellt. In 3.28 werden Ordinalzahlen benutzt, da ich keinen anderen Beweis der dortigen Resultate kenne. Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Integrationstheorie, die auch innerhalb der Maßtheorie immer wieder als Hilfsmittel benutzt wird, was once der größeren Durchsichtigkeit und Einfachheit der Darstellung dienen soll. Die Integrationstheorie ist so angelegt, daß vieles auch ohne die Voraussetzung der Verbandseigenschaft gültig bleibt, die Theorie additionally auch auf Beispiele anwendbar ist, die mit der üblich fOlmulierten Integrationstheorie nicht erfaßt werden können. Jedes Kapitel schließt mit einem Abschnitt "Übungen, Beispiele, Ergänzungen", der als integraler Bestandteil des Ganzen zu sehen ist. Es schien mir manchmal zweckmäßig, der natürlichen Entwicklung gegenüber dem systematischen Autbau den Vorzug zu geben, z. B. indem ein Begriff erst definiert wird, wenn er gebraucht wird, oder indem ein konkretes Beispiel Anlaß zu einer Definition gibt. In einer Vorlesung kann guy in dieser Richtung wesentlich weiter gehen, z. B. indem guy die Integrationstheorie am Beispiel des elementaren Integrals auf den Treppenfunktionen 1 durchführt, additionally Lebesgue-L und das Lebesgue-Integral konstruielt und danach feststellt, daß das betrachtete Beispiel schon den allgemeinen Fall enthält, da die gesamte Konstruktion einschließlich der benutzten Beweise auch im allgemeinen Fall gültig bleibt.

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Das System {A n R I AE ~} ist eine O'-Algebra auf R, welche offenbar die Halbstrahlen (a,oo) und = n 7(n,oo]E ~ gilt, folgt 1ß c ~ und somit 1ß = ~ . ß enthält. Da außerdem {oo} {- oo} = R \ u7 (- n,oo]E ~ f c P(X). Das System ~ = {A c X I A oder X \ A kann mit einer Folge aus überdeckt werden} ist eine O'-Algebra auf X. h. für jedes AE ~(f) läßt sich A oder X \ A mit abzählbar vielen FjE f überdecken. 27) Sei Qe' c P(X) und AE ~(Qe'). Dann gibt es ein abzählbares Teilsystem AE ~(f). Denn: Das System {B c X I es gibt ein abzählbares System f f c Qe' mit c Qe' mit BE ~(f)} ist eine O'-Algebra, die jedes EE Qe', also auch ~ (Qe') enthält.

Gilt XiQ = u - v, so kann weder u noch v unendliche Werte annehmen, es folgt also XiQ = lim(u n - v n). Da der Grenzwert nur die Werte 0 und 1 annimmt, ist lR. h. lR. \ Q = Un=l ( (lk=n ~ 1) = {Uk - Vk :5:"2} ~ U 1 An, wobei die An offenbar abgeschlossen sind und leeres Inneres haben, denn sie enthalten keine rationalen Punkte. Indem wir noch die einpunktigen Teilmengen von Q hinzufügen, erhalten wir lR. als Vereinigung von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen mit leerem Innerem, was nach dem Kategoriensatz von Baire A 20 nicht möglich ist.

Für beliebiges g:X ~ B setzen wir IIgll :;;: l(lgl) , wo Igl(x) ~f IIg(x)II B. 4 ein vollständiger halbnormierter Raum. Setzen wir für f:;;: L~ ak·fkE EB nun IBf:;;: L~ ak·Ifk , so ist IB: EB~ B wohldefiniert und linear und erfüllt 11 IB f 11 ::; 111'11. 4 ~ B lim IBfn. 17(a), (b), (e) n sinngemäß. Anders als das Beispiel in (a) hat der allgemeine Fall einen Haken: es scheint, daß die Ungleichung IIIBfll ~ IIfII für fE EB nicht leicht direkt eingesehen werden kann. 4 erhaltene Norm mit der oben definierten 11 11 übereinstimmt.

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