Read e-book online Mathematik für Informatiker: Eine aus der Informatik PDF

By Steffen Goebbels

Im Studienalltag ist oft die Mathematik von den Inhalten der Informatik durch separate Vorlesungen abgegrenzt. Dadurch wird es schwierig einzusehen, warum im Informatik-Studium so viel Mathematik unterrichtet wird. In diesem Buch werden daher Fragestellungen der Informatik in den Mittelpunkt gestellt, für die dann die benötigte Mathematik entwickelt wird.

Da das Buch als Einführung geschrieben ist, genügen elementare Schulkenntnisse in Mathematik. Bruchrechnung oder das Umstellen von Gleichungen setzen wir aber als bekannt voraus. Sie sollten auch schon ein wenig programmiert haben, um die (einfachen) Programmbeispiele unmittelbar zu verstehen. Da viele Querbezüge zur Informatik dargestellt werden, eignet sich das Buch insbesondere auch zum Auffrischen der Mathematikkenntnisse - z. B. nach einer Pause zwischen Bachelor- und Master-Studium.

Bei der Stoffauswahl haben wir uns an den Kernfächern der Informatik orientiert: Logik und Rechnen mit Bits, Relationen und endliche Automaten, Graphen und Graphenalgorithmen, Zahlen und ihre Darstellung im computing device, Primzahlen und Verschlüsselung, Differenzial- und Integralrechnung in Verbindung mit Aufwandsabschätzungen, Lineare Algebra und Codes.

Wir möchten mit dem Buch auch die Grundlage dafür legen, dass Sie sich weitere Themen der Mathematik aneignen können, wenn Sie diese bei der Anwendung der Informatik für andere Disziplinen benötigen.

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Wir werden die vollst¨ andige Induktion noch sehr oft in diesem Buch anwenden, so dass diese f¨ ur Sie noch vertrauter wird. Das Konzept der vollst¨ andigen Induktion ist sehr eng verwandt mit der rekursiven Programmierung, die nach unserer Erfahrung ebenfalls oft nur schwer verstanden wird und daher ge¨ ubt n onnte (iterativ) mit einem Programm wie werden muss. 5 ermittelt werden. Die Summe kann allerdings auch mittels einer rekursiven Funktion berechnet werden. Rekursiv heißt, dass sich die Funktion bei der Ausf¨ uhrung selbst wieder aufruft.

Wir wollen uns nach diesem einf¨ uhrenden Beispiel etwas einfachere Automaten ohne Ausgabe ansehen. In der Theoretischen Informatik finden wir Automaten in den Bereichen Berechenbarkeits- und Komplexit¨ atstheorie. In der Software-Entwicklung spielen die Automaten ebenfalls eine wichtige Rolle. So basiert das Entwurfsmuster Zustand“ auf Automaten. Oft kann eine Anforderungsspezifikation sehr pr¨ azise ” formuliert werden, wenn man das Problem mittels Automaten beschreiben kann. Auch das Testen der Software ist in solchen F¨ allen einfach.

B. (A, 0) → C gilt. 19 (Funktion) Wir betrachten die Abbildung f : N → N mit f (x) = x2 (also x → x2 ), wobei N = {1, 2, 3, . . } die Menge der nat¨ urlichen Zahlen ist. Hier ist explizit eine Abbildungsvorschrift angegeben: Das Bild jedes x ∈ D(f ) = N erhalten wir, indem wir f (x) durch Quadrieren von x berechnen. Wir nennen in diesem Zusammenhang x das Argument der Abbildung f . Durch die Abbildungsvorschrift ist automatisch die Rechtseindeutigkeit sichergestellt (ohne die Sie auch keinen Funktionsgraphen zeichnen k¨ onnten).

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