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By B. H. Neumann (auth.), M. F. Newman (eds.)

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Read Online or Download Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups: Australian National University, August 13–24, 1973 PDF

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2 A. Es gibt viele Gruppen G mit folgenden Eigenschaften: (a) G ist endlich erzeugbar; (b) G' ist eine freie abelsche Gruppe abzählbar unendlichen Ranges. Das einfachste ßeispiel einer solchen Gruppe ist G = F/F" ,wobei Feine endlich erzeugbare, nicht abelsche, freie Gruppe ist, wie sich aus dem NielsenSchreier-sehen Untergruppensatz ergibt; siehe Specht [po 155, Satz 5]. Eine solche Gruppe hat die folgenden weiteren Eigenschaften: (c) G" = I (d) (G 0 ; G') 0 G' 1. Hieraus folgt: (e) Dar Paar G khz G N = G, [und G' khz G) G genügt also den Bedingungen (ib), zweite Hälfte von (ii) , zweite Hälfte von (iii), (iva und 0); aber G ist nicht polyzyklisch.

Wir nehmen schließlich die Gültigkeit der Bedingung (iv) an. Dann gelten Ist weiter G mit endlichem Na , ist M der einzige in Na minimale Normalteiler von ° enthaltene, Ga , so folgt 1 = aus unserer Bedingung (ivc). 6 [leer] erfüllt; M 0 (G) ° ' Insbesondere ist also daß M abelsch ist. M 0 M' = 1; und hieraus folgt Also ist die Bedingung (iiic) und damit haben wir gezeigt: N ist fast polyzyklisch. (la) Das Produkt P aller polyzyklischen Normalteiler von polyzyklische charakteristische Untergruppe von P ~ G.

Hieraus folgt erstens (Sb) und aus Bedingung (vc2) folgt also (Sc) Aus M c NO und (Sc) folgt dann M 4 H mit Me NO und Einbettungseigenschaften von Normaltei lern so daß N/(NncB) Mein epimorphes Bild von o(M) (5d) ist. 41 Anwendung von (5a) zeigt dann: m . 6 erfüllt ist; und hieraus folgt: N ist fast polyzyklisch . (5) wir machen nun die folgende zu widerlegende Annahme: N (6+) Da (6a) ~ G ist falsch. N wegen (5) noethersch ist, folgt sofort: G auf Es gibt einen Epimorphismus von X hek H so daß K/X hek H/X Gültigkeit von Aus X hek H und cX c K die folgt X c X X = I • der einzige, in X enthaltene endliche Aus (5) und (6a) folgt, daß X fast polyzyklisch ist, und daß also X insbesondere unendlich ist.

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